第49章 得证（1 / 2）

「现在，需要的递推公式出来了，接下来就是进一步的区分丶验算丶缔造，看看一开始的想法是否行得通。」

「在这里，我们需要分情况讨论。当n是偶数项，n=2m，m是正整数时，通过不断使用递推公式可得：P2m=(2m-1)/2m×(2m-3)/(2m-2)×……×1/2×P0，且P0=∫(0→π/2)dx=π/2。」

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「当n是奇数项……P2m+1……P1=1。」

「这时，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知P2m+1≤P2m≤P2m-1，然后，再计算当m趋于无穷时P2m+1/P2m-1的情况，并将两者的表达式代入简化……」

「最终可得，当m趋于正无穷时，π/2=∏（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得证。」

写到这里，罗伦停了笔。

其实正常情况下，证明关于π/2的无穷乘积的常规思维逻辑，是要通过欧拉正弦乘积公式来解决的，那才是标志性的微积分思维链。

也就是对sinx/x进行无穷乘积展开，然后进行变换。

不过，正弦乘积无穷展开的方法，涉及到一些比较麻烦的东西——正弦函数的无穷乘积收敛性与零点问题。

罗伦的做法，则是先基于积分的分部积分法得到递推关系，随后再利用函数的单调性，并通过求极限来推导出最终的乘积公式。

他这样做，在微积分体系完善的情况下，算是完美的证法，可在微积分体系不完善的情况下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是规避了零点问题，把瑕疵与不严谨限定在了一个问题上——极限的概念。

这个问题说大也大，大到可以把微积分打成错误学说的地步。

说小也小，小到即便不用管它微积分依旧能蓬勃发展。

现在，就看算术迷宫的规则，给不给判定通过了。

看题目上所写的『请试着证明』的字眼，罗伦觉得给判定通过的可能性很大。

果不其然。

他停笔之后，当西蒙娜与莫利斯还在盯着他书写的内容进行思索与甄别之时，这片空间已然嗡嗡震动起来。